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微分几何

第一章 三维欧氏空间的曲线论
  §1 曲线 曲线的切向量 弧长
  §2 主法向量与从法向量 曲率与扰率
  §3 Frenet标架 Frenet公式
  §4 曲线在一点邻近的性质
  §5 曲线论基本定理
  §6 平面曲线的一些整体性质
    6.1 关于闭曲线的一些概念
    6.2 切线的旋转指标定理
    6.3 凸曲线*
    6.4 等周不等式*
    6.5 四顶点定理*
    6.6 Cauchy-Crofton公式*
  §7 空间曲线的整体性质
    7.1 球面的Crofton公式*
    7.2 Fenchel定理*
    7.3 Fary-Milnor定理*

第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何
  §1 曲面的表示 切向量 法向量
    1.1 曲面的定义
    1.2 切向量 切平面
    1.3 法向量
    1.4 曲面的参数表示
    1.5 例
    1.6 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面

§2 曲面的第一、第二基本形式
  2.1 曲面的第一基本形式
  2.2 曲面的正交参数曲线网
  2.3 等距对应 曲面的内蕴几何
  2.4 共形对应
  2.5 曲面的第二基本形式

§3 曲面上的活动标架 曲面的基本公式
3.1 省略和式记号的约定
3.2 曲面上的活动标架 曲面的基本公式
3.3 Weingarten变换W
3.4 曲面的共轭方向 渐近方向 渐近线

§4 曲面上的曲率
4.1 曲面上曲线的法曲率
4.2 主方向 主曲率
4.3 Dupin标线
4.4 曲率线
4.5 主曲率及曲率线的计算 总曲率 平均曲率
4.6 曲率线网
4.7 曲面在一点的邻近处的形状
4.8 Gauss映照及第三基本形式
4.9 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面

§5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理
5.1 曲面的基本方程
5.2 曲面论的基本定理

§6 测地曲率 测地线
6.1 测地曲率向量 测地曲率
6.2 计算测地曲率的Liouville公式
6.3 测地线
6.4 法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系
6.5 应用
6.6 测地扰率
6.7 Gauss-Bonnet公式

§7 曲面上的向量的平行移动
    7.1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动 绝对微分
    7.2 绝对微分的性质
    7.3 自平行曲线
    7.4 向量绕闭曲线一周的平行移动 总曲率的又一种表示
    7.5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系



参阅
  1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
  2. 手册 = 中学数学手册 + 数学手册 + 实用数学手册
  3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
  4. 高等数学 = 基础数学 ( 代数 + 几何 + 分析 ) + 应用数学
  5. 数学公式 - 函数图 - 曲线图 - 立体图 - 动画 - 例题
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