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数学分析讲义》

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数学分析 ■
“数学分析”课程是高校数学类各专业和力学与工程结构各专业的三高基础课之一,是重点建设的基础课程的重中之重。经过多年来的建设,已经形成了一支高水平的科研型的教师队伍;淡化专业,加强基础,面向宽口径培养目标的教改方向;与时俱进,不断调整内容,与现代科学发展相适应的教学大纲;教学内容和教学方法现代化,实验多媒体教学,坚持每周一次的教学研究活动的教学规范。教学组一板一眼打好学生的基础,着力培养学生的创新能力,使教学质量不断提高。本校数学和力学类的毕业生分析数学基础扎实,在国内外有口皆碑。

  本课程是数学类各专业以及力学各专业的一门重要基础课,基本内容包括极限论、微分学、积分学、级数理论,在教学上可分为一元微积分学、多元微积分学、高等分析三部分。本课程为各门后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、概率论、基础物理、理论力学等提供必需的基础知识和基本能力及思维方法的训练,为以后的学习、研究和应用打好基础。

第一学期 一元微积分学
 第一章 函数
  §1.1 初等函数(包括双曲函数及其反函数)
  §1.2 函数的一般概念(几个常见经济学函数,函数的计算机作图)
  §1.3 复合函数和反函数
 第二章 极限
  §2.1 序列极限定义
  §2.2 序列极限的性质和运算
  §2.3 确界和单调有界序列,区间套定理,子序列定理
  §2.4 函数的极限
  §2.5 函数极限的推广(28种极限正反命题,性质定理的举一反三训练)
  §2.6 极限存在性理论及两个重要极限
  §2.7 序列极限与函数极限之关系
 第三章 连续函数
  §3.1 连续和间断
  §3.2 连续函数的性质(湮符号性质,复合函数连续性,闭区间连续函数性质)
  §3.3 初等函数连续性
 第四章 导数和微分
  §4.1 导数定义和某些初等函数的导数
  §4.2 导数的四则运算
  §4.3 求导的几种技巧
  §4.4 高阶导数
  §4.5 微分
  §4.6 微分中值定理
  §4.7 de l'Hospitale法则   
 第五章 不定积分
  §5.1 原函数
  §5.2 换元法
  §5.3 分部积分法
  §5.4 有理函数积分
  §5.5 三角函数有理式的积分
  §5.6 无理函数的积分(椭圆积分介绍*)
 第六章 定积分
  §6.1 定积分概念,与不定积分关系
  §6.2 定积分的性质
  §6.3 定积分的换元法、分部积分法
  §6.4 第一,二中值定理   
 第七章 微积分的应用
  §7.1 定积分的几何应用
  §7.2 定积分的物理应用
  §7.3 定积分在经济中的应用*(边际,弹性)
  §7.4 无穷小量与无穷大量之比较
  §7.5 Taylor公式
  §7.6 函数的升降与极值,凸凹与拐点
第二学期 多元微积分
 第一章 实数理论,极限绪论
  §1.1 从自然数到有理数介绍
  §1.2 实数的定义(戴德金分割)
  §1.3 实数的性质
  §1.4 确界存在定理,区间套定理,聚点
  §1.5 紧性定理(序列紧,有限覆盖,再论一致连续)
  §1.6 完备性 (Cauchy 基本列, 实数的另一种定义方法)
  §1.7 上极限与下极限
 第二章 函数的可积性
  §2.1 Darboux 上,下和,上,下积分
  §2.2 函数可积的充分必要条件,可积函数类
  §2,3 微积分基本定理
  §2.4 变限积分,原函数存在的充分条件
 第三章 欧几里德空间点集拓扑初步,连续函数
  §3.1 欧几里德空间的极限理论,完备性
  §3.2 欧几里德空间中的点集拓扑,开集、闭集
  §3.3 欧几里德空间中的紧性和完备性
  §3.4 多元数值函数和向量值函数的极限(整体极限与累次极限),连续函数
  §3.5 紧集上的连续函数,一致连续
 第四章 多元函数微分学
  §4.1 偏导数
  §4.2 全微分
  §4.3 微分的几何意义
  §4.4 高阶偏导
  §4.5 复合函数求导,方向导数与梯度
  §4.6 高阶微分和Taylor公式
 第五章 隐函数定理
  §5.1 Jacobi矩阵与Jacobi行列式
  §5.2 隐函数定理
  §5.4 逆变换定理
 第六章 多元函数的极值问题
  §6.1 普通极值问题
  §6.2 条件极值问题
  §6.3 Lagrange乘子法
  §6.4 最小二乘法
 第七章 重积分
  §7.1 重积分的定义
  §7.2 重积分的存在性与性质
  §7.3 化重积分为累次积分
  §7.4 重积分的变量替换 Gamma函数和Beta函数的应用
 第八章 曲线积分,曲面积分和场论
  §8.1 曲线积分
  §8.2 曲面积分
  §8.3 场论基本概念
  §8.4 Green公式
  §8.5 Gauss公式
  §8.6 狭义Stokes公式
  §8.7 曲线积分与路径无关
 第九章 Grassmann代数与微分形式*
  §9.1 Grassmann代数与微分形式
  §9.2 微分形式的拉回
  §9.3 微分流形
  §9.4 微分流形上微分形式的积分
  §9.5 Stokes公式
第三学期 高等分析
 第一章 数项级数
  §1.1 数项级数及其与序列极限和无穷积分的关系
  §1.2 无穷级数的Cauchy 准则和绝对收敛性
  §1.3 正项级数
  §1.4 条件收敛的级数
  §1.5 绝对收敛的级数
  §1.6 无穷乘积
 第二章 函数序列与函数级数
  §2.1 引言
  §2.2 一致收敛性及其判别法
  §2.3 一致收敛性的极限函数的性质
 第三章 幂级数
  §3.1 幂级数的收敛半径
  §3.2 收敛幂级数的性质
  §3.3 基本初等函数的幂级数展开
  §3.4 幂级数的应用,超几何级数
  §3.5 Weierstrass逼近定理*
 第四章 广义积分
  §4.1 无穷积分及其判别法
  §4.2 瑕积分及其收敛性
 第五章 参变量积分
  §5.1 含参量的定积分
  §5.2 一致收敛与极限函数之性质
  §5.3 含参量的广义积分
  §5.4 欧拉积分:Gamma函数与Beta函数
 第六章 Fourier级数
  §6.1 周期函数Fourier级数
  §6.2 Fourier级数的例子
  §6.3 Fourier级数的收敛性(Dini和Lipschitz判别法)
  §6.4 均方收敛,Parseval等式
  §6.5 任意区间上的Fourier级数
  §6.6 Fourier级数的复数形式
  §6.7 Fourier变换
  §6.8 快速Fourier变换,快速Sine和Cosine变换
  §6.9 调和函数

数学分析 ■

周数 教学内容 习题 下载及备注
01
§1.1 初等函数
§1.2 函数的一般概念,函数的计算机作图
§1.3 复合函数和反函数
第一章  
02
§2.1 序列极限定义
§2.2 序列极限的性质和运算,
   确界和单调有界序列
第二章
03
§2.3 区间套定理,子序列定理
§2.4 函数的极限
§2.5 函数极限的推广
第二章
04
§2.6 极限存在性理论及两个重要极限
§2.7 序列极限与函数极限之关系,极限论小结
第二章 小测验
05
§3.1 连续和间断
§3.2 连续函数的性质
§3.3 闭区间连续函数性质
第三章
06
§3.4 初等函数连续性
§4.1 导数定义和某些初等函数的导数
§4.2 导数的四则运算
第三章
第四章
07
§4.3 求导的几种技巧
§4.4 高阶导数
§4.5 微分
第四章
08
§4.6 微分中值定理
§4.7 de l'Hospitale法则
第四章 期中考试
09
§5.1 原函数
§5.2 换元法
§5.3 分部积分法
第五章
10
§5.4 有理函数积分
§5.5 三角函数有理式的积分
§5.6 无理函数的积分
第五章
11
§6.1 定积分概念,与不定积分关系
§6.2 定积分的性质
§6.3 定积分的换元法
第六章
12
§6.4 第一,二中值定理
第六章 小测验
13
§7.1 定积分的几何应用
§7.2 定积分的物理应用
第七章
14
§7.3 定积分在经济中的应用*
§7.4 无穷小量与无穷大量之比较
第七章
15
§7.5 Taylor公式
§7.6 函数的升降与极值,凸凹与拐点
第七章
16 期末考试

数学分析 ■

  见教材每章后的习题,课内题、课外题将随着教学进程由主讲老师和习题课老师布置。


  平时(作业,小考,提问等)占20%,期中考试(闭卷)占20%,期末考试(闭卷)占60%。

数学分析 ■

  《数学分析》第一册,彭立中,伍胜健,谭小江(自编教材)
  《数学分析》第二册,伍胜健,谭小江,彭立中(自编教材)
  《数学分析》第三册,谭小江,彭立中,黄克服,伍胜健(自编教材)
  《数学分析》第一,二,三册,方企勤等编著,高等教育出版社,1986版。

参阅
  1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
  2. 手册 = 中学数学手册 + 数学手册 + 实用数学手册
  3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
  4. 高等数学 = 基础数学 ( 代数 + 几何 + 分析 ) + 应用数学
  5. 数学公式 - 函数图 - 曲线图 - 立体图 - 动画 - 例题
  6. 书单 = 数学 + 物理 + 化学 + 计算机 + 医学 + 英语 - QQ群614057790下载书
  7. 数学手册计算器 = 数学 + 手册 + 计算器 + 计算机代数系统
  8. 例题:

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