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初等函数

初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、 对数函数(logarithmic function)、三角函数(trigonometric function)、 反三角函数(inverse trigonometric function)与常数经过有限次的有理运算(加、减、乘、除、有理数次乘方、 有理数次开方)及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。
它是最常用的一类函数,包括常函数幂函数指数函数对数函数、三角函数、反三角函数 (以上是基本初等函数),以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的 复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成 并可以用一个解析式表出的函数,称为初等函数。
还有一系列双曲函数也是初等函数,如sinh的名称是双曲正弦或超正弦, cosh是双曲余弦或超余弦,tanh是双曲正切coth是双曲余切sech是双曲正割,csch是双曲余割。 初等函数在其定义域内连续。

表示形式

  • 解析式
    一个初等函数,除了可以用初等解析式表示以外,往往还有其他表示形式。
  • 无穷级数
    例如 ,三角函数 y=sinx 可以用无穷级数表为y=x-x 3/3!+x5/5!-…初等函数是最先被研究的一类函数,它与人类的生产和生活密切相关,并且应用广泛。
  • 函数表
    为了方便,人们编制了各种函数表,如平方表、 开方表、对数表、三角函数表等。
  • 图象

    分支

    有理函数

    实系数多项式称为整有理函数。其中最简单的是线性函数 y=α01x, 它的图象是过y轴上y=α0点的斜率为α1的直线。二次整有理函数y=α01x+α2x2的图象为抛物线。
    两个整有理函数之比为分式有理函数。分式有理函数其中最简单的是反比例函数,其图象为双曲线。 整有理函数和分式有理函数统称有理函数。有理函数起源于代数学
    两个复系数的多项式之比为有理函数,它实现扩充的复平面到自身的解析映射。分式线性函数是一个特殊的有理函数,它在复分析 中有重要的意义。另一个特殊情形是幂函数w=zn,n 是自然数,它在全平面是解析的。因此当n≥2时,它在全平面除z=0以外到处实现共形映射(保角映射)。 它将圆周|z|= r变为圆周|w|=rn,将射线argz=θ变为射线argw=nθ。任何一个区域,只要该区域中任两点的辐角差小于2π/n,它就是w=zn的单叶性区域。幂函数w=zn反函数 为根式函数,它有n个值(k=0,1,…,n-1),称为它的分支。它们在任何区域θ1z<θ1+2π中都单值解析。

    代数函数

    求有理函数的反函数则可产生代数函数。如y=xn的反函数为x=yn

    超越函数

    超越函数变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、 乘方开方运算表示的函数。如指数函数对数函数反三角函数等就属于超越函数。

    常用函数

    常函数

    常函数 常函数
    定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。

    三角函数

    三角函数是起源于几何学的最简单的超越函数。
    初等三角函数包括正弦函数y=sin(x) 、 余弦函数y=cos(x) 、正切函数y=tan(x)、余切函数y=cot(x) 、 正割函数y=sec(x)和余割函数y=csc(x)。高等分析学中用弧度制计量角度,即以 单位圆周上的弧段量度相应的圆心角

    指数函数

    指数函数 指数函数
    形如y=xa 的函数,式中a为不等于1的正常数

    对数函数

    对数函数

    对数函数 = 指数函数的反函数,记作 y=loga(x) ,式中a为不等于1的正常数,定义域是零到正无穷的开区间。指数函数与对数函数之间成立关系式, loga(ax) = x 。

    反三角函数

    三角函数反函数 —— 反正弦函数y = arcsin(x) 、反余弦函数 y=arccos(x) (-1≤x≤1,0≤y≤π)、反正切函数y=arctan(x) 、 反余切函数
    等 , 以上这些函数常统称为基本初等函数

    双曲函数

    双曲函数
    双曲函数
    由指数函数经有理运算可导出双曲函数。其性质与三角函数很相似。sinh(x)、cosh(x)分别称为双曲正弦和双曲余弦。像三角函数一样,由它们导出的双曲正切tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)和双曲余切coth(x)=cosh(x)/sinh(x) 等都称为双曲函数。
    双曲正弦或超正弦
    双曲余弦或超余弦
    双曲正切
    双曲余切
    双曲正割
    双曲余割
    它们有如下的几何解释,即双曲线x2-y2=1(x>0)上取一点M,又令O为原点,N=(1,0),将ON,OM和双曲线上的弧所围面积记为θ/2,点M的坐标视为θ的函数,并记为coshθ和sinhθ, 即有表示式cosh2θ-sinh2θ=1。

    幂函数

    形如
    的函数,式中a为实常数
    一般地,形如
    (a为常数)的函数,即以底数为自变量因变量, 指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x、y=x2、y=1/x(注:y=1/x=x-1) 等都是幂函数。

    在复数域的推广

    复变三角函数

    例如将y=sinx和y=cosx中变量x换为复变量z,则得到复变三角函数w=sin(z)和w=cos(z),它们是整函数。 tan(z)=sin(z)/cos(z),cot(z)=cos(z)/sin(z)等是z的亚纯函数。它们具有实三角函数的很多类似性质:周期性、微商性质、 三角恒等式等。但|sin(z)|≤1,|cos(z)|≤1不是对任何z都成立。三角函数与指数函数密切联系,因此应用时很方便。sinz的单叶性区域将Gk单叶并共形地映为全平面上除去实轴上线段[-1,1] 和负虚轴后得到的区域;它将Rk单叶并共形地映为全平面除去实轴上两条射线(
    ,-1]和[1,
    )后得到的区域。类似地可以指出cosz的单叶性区域。

    复变指数函数

    在指数函数式w=ex中将x换为复变量z,便得到复变指数函数w=ez。 复变指数函数有类似于实指数函数的性质:ez是一整函数且对任何复数z,ez≠0;它满足ez1·ez2=ez1+z2;ez 以2kπi为周期,ez=ez+2kπi;并且它的导数与本身相同,即 (ez)'=ez。函数w=ez 在全平面实现共形映射。任何一个区域,只要对区域内任两点,其虚部之差小于2π,它就是ez的单叶性区域。例如,指数函数把直线x=x0变为圆周,把直线y=y0 变为射线argw=y0,因而把区域Sk变为区域0w<2π,把宽度为β的带形区域α00+β(β≤2π)变为开度为β的角形域α0w<α0+β。

    复变对数函数

    对数函数w=lnz是指数函数w=ez的反函数,它有无穷多个值2kπ(k 为整数),称为它的分支。每一个分支在区域θ0z<θ0+ 2π 中是解析的。对数函数把这个区域单叶地变为带形区域θ 0w<θ0+2π,也把开度为β的角形域θ0z<θ0+β(β≤2π)变为宽度为β的带形区域θ0w<θ0+β。 像实对数函数一样,它满足lnz1+lnz2=ln(z1·z2)。

    复变反三角函数

    w=arcsin(z),w=arccos(z),w=arctan(z)分别是sin(z),cos(z)和tan(z)的反函数,并称复变反三角函数。它们能由对数函数合成。它们都是 多值函数

    复变双曲函数

    将实双曲函数推广到复数域得复变双曲函数。像实双曲函数一样,复变双曲函数能由复变指数函数合成。

    复变幂函数

    将实幂函数的实变量用复数替换即得复变幂函数。一般来说,它是多值函数。

    导数与微积分函数

    一般初等函数的导数还是初等函数,但初等函数的不定积分不一定是初等函数。另外初等函数的 反函数不一定是初等函数。

    书单

  • 2-1 函数概念与基本初等函数
  • 2-2 函数的表示方法
  • 2-3 函数的单调性及值域
  • 2-4 函数的奇偶性及周期性
  • 2-5 指数与指数函数
  • 2-6 对数与对数函数
  • 2-7 幂函数
  • 2-8 函数图像
  • 2-9 函数与方程
  • 常见函数图像
  • 数学手册 - 初等函数
  • 初等数学 - 初等函数
  • 公式图表 - 初等函数
  • 数学分析讲义 - 初等函数
  • 第一章 函数极限连续 习题 
    参阅
    1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
    2. 手册 = 中学数学手册 + 数学手册 + 实用数学手册
    3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
    4. 高等数学 = 基础数学 ( 代数 + 几何 + 分析 ) + 应用数学
    5. 公式 - 图表 - 动画 - 立体图
    6. 书单 = 数学 + 物理 + 化学 + 计算机 + 医学 + 英语 - QQ群 614057790 下截书
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    8. 例题:
    
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